fentg.com

ФОРУМЪТ на ФЕНОВЕТЕ на НТГ
Дата и час: Пет Май 14, 2021 1:55 pm

Часовете са според зоната UTC + 2 часа [ DST ]


Правила на форума


Натиснете за да видите правилата



Напиши нова тема Отговори на тема  [ 16 мнения ]  Отиди на страница 1, 2  Следваща
Автор Съобщение
 Заглавие: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Пон Май 17, 2010 11:46 am 
Offline
Администратор
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 02, 2008 5:30 pm
Мнения: 3550
По три страни - чрез Херон.

Дължина на страна чрез координатите на двата върха - Питагор.

Как да намерим формула за лицето, в която участват само координатите на върховете Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy?
И да е проста и лесна за запомняне, да няма корени и т.н...

Попаднах на една формула, която на практика работи:

S = (Ax *(By - Cy) + Bx * (Cy - Ay) + Cx * (Ay - By)) / 2; (1)

Кой е смелчагата, който би заместил в Хероновата формула страните с Питагоровите разстояния между върховете, чрез координатите им, както и полупериметъра?

Иска ми се да имам доказателство за (1)...

Ако имате и други идеи, откъде се е появила тази хубава и лесна формула (1) - моля пишете!

/малко от геометричната информатика, за да не губим форма/

_________________
Изображение


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Пон Май 17, 2010 12:58 pm 
Offline
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 09, 2008 11:49 pm
Мнения: 577
След разписването на хероновата със страните изразени с питагорова смятане, съкращаване и там всичките му работи(което ще отнеме 1-2-3 часа) би трябвало да се получи това произведение, което всъщност е начина по който се смята детерминанта 3х3 където първия стълб са стойностите от абцисата, втория от ординатата , а третия стълб са единици. Или иначе казано "Лицето на триъгълник, зададен с координатите на своите върхове, е половината от детерминантата, чиито първи два стълба са координатите на върховете на триъгълника, а третия стълб се състои от единици." За жалост обаче нямам никаква представа как се смятат детерминанти, но формулата идва от тук.

Edit: Формулата трябва да се взима в модул защото може да се получи отрицателно.

_________________
Прочети неща, за които другите не пишат - Блогът на Петко Иванов


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Пон Май 17, 2010 1:54 pm 
Offline
Администратор
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 02, 2008 5:30 pm
Мнения: 3550
Детерминанти се смятат като имаме три събираеми от произведенията на елементите на главния диагонал и елементите успоредни нему (пак 3 - изнесените малки диагонали) и после три умалителя с обратните диагонали...
Ако това е общият вид на детерминанта от трети ред :
| а11 а12 а13 |
| а21 а22 а23 |
| а31 а32 а33 |
имаме следната сметка:

а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а21*а32*а13 - а13*а22*а31 - а12*а21*а33 - а23*а32*а11

Това е сметката за детерминантата...

В нашият случай, както казваш за стълбовете детерминантата е:
| Ax Ay 1 |
| Bx By 1 |
| Cx Cy 1 |
и прилагайки горната сметка взимаме половината (т.е. става /2)...

На око усещам без да се напъна, че ще се получи, но твърдението:
Цитат:
"Лицето на триъгълник, зададен с координатите на своите върхове, е половината от детерминантата, чиито първи два стълба са координатите на върховете на триъгълника, а третия стълб се състои от единици."
идва малко съмнително за ученици, които не са чували за детерминанти.
Практически формулата работи, но защо това (лицето) с детерминантата е така си остава въпрос...

Въпрос е още и защо Хероновата формула работи вярно с абсолютна точност и без изключения... :uaaa:
Или от друга страна - Питагор е ясно отдавна как е измислил прословутата си теорема, но за мен все още си остава загадка - как Херон е измислил неговата формула... Какви времена са били тогава? И какви хора... Де ги сега такива?

Любчо от моя клас реши, че ако върху координатната система проснем един произволен триъгълник и го опишем с правоъгълник, страните на който са успоредни на абсцисата и ординатата се получава супер - гъзарска сметка:
Лицето на нашия триъгълник (зададен с координатите на върховете му) е разлика от лицето на правоъгълника и лицата на три правоъгълни триъгълника, които се получават в допълнение на нашия... Ако си разчертаете ще видите, че за всичко са достатъчни координатите на върховете му - това, което всъщност е дадено... И се стига до същата формула... Но зора ми е от Херон и Питагор дали може да я докараме...

_________________
Изображение


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Пон Май 17, 2010 2:03 pm 
Offline
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 09, 2008 11:49 pm
Мнения: 577
Хероновата формула е измислена от Архимед Изображение Нямам представа защо се нарича херонова

_________________
Прочети неща, за които другите не пишат - Блогът на Петко Иванов


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Пон Май 17, 2010 2:07 pm 
Offline
Администратор
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 02, 2008 5:30 pm
Мнения: 3550
Защото Архимед я е ползвал практически, но Херон официално я е формулирал...

Прочети още какво съм писал, защото си допълних горния пост...

_________________
Изображение


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Пон Май 17, 2010 2:19 pm 
Offline
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 09, 2008 11:49 pm
Мнения: 577
Ами то си чиста алгебра, но се получава някакво километрично уравнение, което трябва да се опрости.

_________________
Прочети неща, за които другите не пишат - Блогът на Петко Иванов


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Вто Май 18, 2010 9:06 am 
Offline

Регистриран на: Сря Ное 19, 2008 5:48 pm
Мнения: 513
emilang написа:
Любчо от моя клас реши, че ако върху координатната система проснем един произволен триъгълник и го опишем с правоъгълник, страните на който са успоредни на абсцисата и ординатата се получава супер - гъзарска сметка:
Лицето на нашия триъгълник (зададен с координатите на върховете му) е разлика от лицето на правоъгълника и лицата на три правоъгълни триъгълника, които се получават в допълнение на нашия... Ако си разчертаете ще видите, че за всичко са достатъчни координатите на върховете му - това, което всъщност е дадено... И се стига до същата формула... Но зора ми е от Херон и Питагор дали може да я докараме...


Да идеята е интересна, обаче има доста частни случаи. Страна успоредна на абсцисата, или ординатата, или и 2-те, или пък триъгълник, който не може да се впише:


Вие нямате нужните права за да сваляте прикачени файлове.

_________________
Toва което не може да се опише с думи, се описва с музика.


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Вто Май 18, 2010 9:33 am 
Offline
Администратор
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 02, 2008 5:30 pm
Мнения: 3550
Това с частните случаи е при положение, че го разработваш.

А методът, предложен от Любчо е за да бъде обоснована формулата (1)...

Иначе видя ли, че има и други обосновки?

За мен бе най-сигурно да се изведе от Херон и Питагор, но все още никой не се наема...

_________________
Изображение


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Вто Май 18, 2010 9:50 am 
Offline

Регистриран на: Сря Ное 19, 2008 5:48 pm
Мнения: 513
Е да но ако се обоснове по този начин формулата, тя не би важала за всички триъгълници, щом не всички могат да бъдат вписани. А да се изведе от Херон и Птиагор дадената формула ми се струва доста трудно, защото как ще изразим полупериметъра чрез координатите на точките, става много сложно?

_________________
Toва което не може да се опише с думи, се описва с музика.


Върнете се в началото
 Профил  
 
 Заглавие: Re: Лице на Триъгълник от координатите на върховете...
МнениеПубликувано на: Вто Май 18, 2010 2:13 pm 
Offline
Аватар

Регистриран на: Нед Ное 09, 2008 11:49 pm
Мнения: 577
От кординатите на 2 точки може да се намери отсечката между тях по питагорова. След което като имаш всяка страна я заместваш в херонова и след опростяване на теория трябва да се получи формулата, но ще отидат няколко часа за тая работа защото формулата става изключително дълга и сложна и е яко сметки.

_________________
Прочети неща, за които другите не пишат - Блогът на Петко Иванов


Върнете се в началото
 Профил  
 
Покажи мненията от миналия:  Сортирай по  
Напиши нова тема Отговори на тема  [ 16 мнения ]  Отиди на страница 1, 2  Следваща

Часовете са според зоната UTC + 2 часа [ DST ]


Кой е на линия

Потребители разглеждащи този форум: 0 регистрирани и 1 госта


Вие не можете да пускате нови теми
Вие не можете да отговаряте на теми
Вие не можете да променяте собственото си мнение
Вие не можете да изтривате собствените си мнения
Вие не можете да прикачвате файл

Иди на:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Превод: Ioan Filipov