fentg.com

По три страни - чрез Херон.

Дължина на страна чрез координатите на двата върха - Питагор.

Как да намерим формула за лицето, в която участват само координатите на върховете Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy?
И да е проста и лесна за запомняне, да няма корени и т.н...

Попаднах на една формула, която на практика работи:

S = (Ax *(By - Cy) + Bx * (Cy - Ay) + Cx * (Ay - By)) / 2; (1)

Кой е смелчагата, който би заместил в Хероновата формула страните с Питагоровите разстояния между върховете, чрез координатите им, както и полупериметъра?

Иска ми се да имам доказателство за (1)...

Ако имате и други идеи, откъде се е появила тази хубава и лесна формула (1) - моля пишете!

/малко от геометричната информатика, за да не губим форма/

След разписването на хероновата със страните изразени с питагорова смятане, съкращаване и там всичките му работи(което ще отнеме 1-2-3 часа) би трябвало да се получи това произведение, което всъщност е начина по който се смята детерминанта 3х3 където първия стълб са стойностите от абцисата, втория от ординатата , а третия стълб са единици. Или иначе казано "Лицето на триъгълник, зададен с координатите на своите върхове, е половината от детерминантата, чиито първи два стълба са координатите на върховете на триъгълника, а третия стълб се състои от единици." За жалост обаче нямам никаква представа как се смятат детерминанти, но формулата идва от тук.

Edit: Формулата трябва да се взима в модул защото може да се получи отрицателно.

Детерминанти се смятат като имаме три събираеми от произведенията на елементите на главния диагонал и елементите успоредни нему (пак 3 - изнесените малки диагонали) и после три умалителя с обратните диагонали...
Ако това е общият вид на детерминанта от трети ред :
| а11 а12 а13 |
| а21 а22 а23 |
| а31 а32 а33 |
имаме следната сметка:

а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а21*а32*а13 - а13*а22*а31 - а12*а21*а33 - а23*а32*а11

Това е сметката за детерминантата...

В нашият случай, както казваш за стълбовете детерминантата е:
| Ax Ay 1 |
| Bx By 1 |
| Cx Cy 1 |
и прилагайки горната сметка взимаме половината (т.е. става /2)...

На око усещам без да се напъна, че ще се получи, но твърдението:
идва малко съмнително за ученици, които не са чували за детерминанти.
Практически формулата работи, но защо това (лицето) с детерминантата е така си остава въпрос...

Въпрос е още и защо Хероновата формула работи вярно с абсолютна точност и без изключения...
Или от друга страна - Питагор е ясно отдавна как е измислил прословутата си теорема, но за мен все още си остава загадка - как Херон е измислил неговата формула... Какви времена са били тогава? И какви хора... Де ги сега такива?

Любчо от моя клас реши, че ако върху координатната система проснем един произволен триъгълник и го опишем с правоъгълник, страните на който са успоредни на абсцисата и ординатата се получава супер - гъзарска сметка:
Лицето на нашия триъгълник (зададен с координатите на върховете му) е разлика от лицето на правоъгълника и лицата на три правоъгълни триъгълника, които се получават в допълнение на нашия... Ако си разчертаете ще видите, че за всичко са достатъчни координатите на върховете му - това, което всъщност е дадено... И се стига до същата формула... Но зора ми е от Херон и Питагор дали може да я докараме...

Хероновата формула е измислена от Архимед Нямам представа защо се нарича херонова

Защото Архимед я е ползвал практически, но Херон официално я е формулирал...

Прочети още какво съм писал, защото си допълних горния пост...

Ами то си чиста алгебра, но се получава някакво километрично уравнение, което трябва да се опрости.

Да идеята е интересна, обаче има доста частни случаи. Страна успоредна на абсцисата, или ординатата, или и 2-те, или пък триъгълник, който не може да се впише:

Това с частните случаи е при положение, че го разработваш.

А методът, предложен от Любчо е за да бъде обоснована формулата (1)...

Иначе видя ли, че има и други обосновки?

За мен бе най-сигурно да се изведе от Херон и Питагор, но все още никой не се наема...

Е да но ако се обоснове по този начин формулата, тя не би важала за всички триъгълници, щом не всички могат да бъдат вписани. А да се изведе от Херон и Птиагор дадената формула ми се струва доста трудно, защото как ще изразим полупериметъра чрез координатите на точките, става много сложно?

От кординатите на 2 точки може да се намери отсечката между тях по питагорова. След което като имаш всяка страна я заместваш в херонова и след опростяване на теория трябва да се получи формулата, но ще отидат няколко часа за тая работа защото формулата става изключително дълга и сложна и е яко сметки.